外观

mathformula

812字约3分钟

2024-11-05

整理一些常用的数学公式

1.三角函数公式
sec⁡x=1cos⁡x\LARGE\sec x=\frac{1}{\cos x}
csc⁡x=1sin⁡x\LARGE\csc x=\frac{1}{\sin x}
cot⁡x=1tan⁡x\LARGE\cot x=\frac{1}{\tan x}

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\LARGE\sin ^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1

1+tan⁡2θ=sec⁡2θ\LARGE 1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta

1+cot⁡2θ=csc⁡2θ\LARGE 1+\cot^{2}\theta=\csc^{2}\theta

sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\LARGE\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta

cos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ=2cos⁡2θ−1=1−2sin⁡2θ\LARGE\cos2\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta=2\cos^{2}\theta-1=1-2\sin^{2}\theta

万能公式

令t=tan⁡x2,则有sin⁡x=2t1+t2,cos⁡x=1−t21+t2sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡βcos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡βtan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β \LARGE 令 t=\tan\frac{x}{2} ,则有 \sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^{2}}\\\\ \sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\\\\ \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\\\\ \tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}

函数图像左右移动

1.三角函数中加减 π\pi 过程中如同在对应的函数图像上左右移动 通常f(x+kπ)f(x+k\pi)中，在图像上相当于将函数左移kπ\pi区间
例如 sin⁡x\sin x的图像过原点，在sin⁡(π2)\sin(\frac{\pi}{2})时到最大值1,过π\pi时为0，过3π2\frac{3\pi}{2}时为最小值-1。当f(x+π2)f(x+\frac{\pi}{2})时图像左移，因为三角函数为周期函数的性质。
原先f(0)f(0)现在为f(0+π2)f(0+\frac{\pi}{2}),原先为f(π2)f(\frac{\pi}{2})现在为f(π2+π2)f(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}),原先f(π)f(\pi)现在为f(π+π2)f(\pi+\frac{\pi}{2})对三角函数某些特殊点的推论可以看出函数向左移动了

sin⁡(θ+π2)=cos⁡θcos⁡(θ+π2)=−sin⁡θsin⁡(π2−θ)=−sin⁡(θ−π2)=−(−cos⁡θ)=cos⁡θcos⁡(π2−θ)=cos⁡(θ−π2)=sin⁡θ\LARGE\sin(\theta+\frac{\pi}{2})=\cos\theta \\ \cos(\theta+\frac{\pi}{2})=-\sin\theta \\ \sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=-\sin(\theta-\frac{\pi}{2})=-(-\cos\theta)=\cos\theta\\ \cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cos(\theta-\frac{\pi}{2})=\sin\theta

2.和差化积
sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡α+β2sin⁡α−β2cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α+β2cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2\LARGE\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\ \sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\\ \cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\\ \cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}

2.1 正弦相关

tan⁡α+tan⁡β=sin⁡(α+β)cos⁡αcos⁡βtan⁡α−tan⁡β=sin⁡(α−β)cos⁡αcos⁡βcot⁡α+cot⁡β=sin⁡(α+β)sin⁡αsin⁡βcot⁡α−cot⁡β=−sin⁡(α−β)sin⁡αsin⁡βtan⁡α+cot⁡β=cos⁡(α−β)cos⁡αsin⁡βtan⁡α−cot⁡β=−cos⁡(α+β)cos⁡αsin⁡β\LARGE\tan\alpha+\tan\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}\\ \tan\alpha-\tan\beta=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}\\ \cot\alpha+\cot\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}\\ \cot\alpha-\cot\beta=-\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}\\ \tan\alpha+\cot\beta=\frac{\cos(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\sin\beta}\\ \tan\alpha-\cot\beta=-\frac{\cos(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\sin\beta}

2.1.1

证明:
α=α+β2+α−β2β=α+β2−α−β2\LARGE\alpha=\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2}\\ \beta=\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2}
利用上述两角和差正余弦公式
sin⁡α+sin⁡β=sin⁡(α+β2+α−β2)+sin⁡(α+β2−α−β2)=sin⁡α+β2cos⁡α−β2+cos⁡α−β2sin⁡α−β2+sin⁡α+β2cos⁡α+β2−cos⁡α−β2sin⁡α−β2=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2\LARGE\sin\alpha+\sin\beta=\sin(\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2})+\sin(\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2})\\ =\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}+\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}+\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}-\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\\ =2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}

2.2积化和差

sin⁡αcos⁡β=12[sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)]cos⁡αsin⁡β=12[sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)]cos⁡αcos⁡β=12[cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)]sin⁡αsin⁡β=−12[cos⁡(α+β)−cos⁡(α−β)]\LARGE\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]\\ \cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]\\ \cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]\\ \sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]

2.2.1
证明:
12[sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)]=12[sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β+sin⁡αcos⁡β−sin⁡αcos⁡β]=sin⁡αcos⁡β\LARGE\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]\\ =\frac{1}{2}[\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta-\sin\alpha\cos\beta]\\ =\sin\alpha\cos\beta

Rt△\mathrm{Rt}\triangle

1xx21yy21zz2 \LARGE\begin{matrix} 1 & x & x^2 \\\\ 1 & y & y^2 \\\\ 1 & z & z^2 \\\\ \end{matrix}

Cnr=n!r!(n−r)!Cnr+1=Cnr+cnr−1Cnr=Cn−rrCnr=Anrn!=n(n−1)...n(n−m+1)n! \begin{array}{c} C_{n}^{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \\ C_{n}^{r+1} = C_{n}^{r} +c_{n}^{r-1}\\C_{n}^{r} =C_{n-r}^{r} \\C_{n}^{r}=\frac{A_{n}^{r}}{n!} =\frac{n(n-1)...n(n-m+1)}{n!} \end{array}